2^nsin1/3^n、a^n/n^k(a>0,k>0)、sin^2n/2^n、(lnn)^n/n^2、n从1开始。判别正项级数的收敛性

Limit[(2^(n + 1) Sin[1/3^(n + 1)])/(2^n Sin[1/3^n]), n -> +∞] = 2/3 < 1; 收敛;

Limit[(a^(n + 1)/(n + 1)^k)/(a^n/n^k), n -> +∞] = a;

a >= 1 则发散; a < 1 则收敛;

Limit[(Sin[n + 1]^2/2^(n + 1))/(Sin[n]^2/2^n), n -> +∞]
= Limit[Sin[n + 1]^2/(2 Sin[n]^2), n -> +∞];
存在无穷子序列使得
Sin[n + 1]^2/(2 Sin[n]^2) > 1; 所以发散;

Limit[(Log[n + 1]^(n + 1)/(n + 1)^2)/(Log[n]^n/n^2), n -> +∞]
= Limit[Log[n + 1]^(n + 1)/Log[n]^n, n -> +∞]
>= 1; 所以发散